Имеет ли право экспертная организация увеличить рабочее давление?

Смотрите пункт 1.2.3. ПБ 03-576-03

…. И вообще на какое давление они дают разрешение на рабочее или расчетное?

На разрешенное давление.
34. Разрешенное давление сосуда (элемента) - максимально допустимое избыточное давление сосуда (элемента), установленное по результатам технического освидетельствования или диагностирования. (ПБ 03-576-03)

..Имеет ли право экспертная организация увеличить рабочее давление?..

6-) Нет, так как при увеличении рабочего давления, протекание рабочего процесса будет нарушено.
9. Давление рабочее - максимальное внутреннее избыточное или наружное давление, возникающее при нормальном протекании рабочего процесса.

…раньше было давление рабочее 16,5кгс/см2 давление расчетное 20кгс/см2. они сделали реконструкцию и им понадобилось 20кгс/см2…

Возможно. Решение принимает эксперт (имеет право) по результатам проведённой ЭПБ.

…. И вообще на какое давление они дают разрешение на рабочее или расчетное?

На разрешенное давление.

Решение принимает не эксперт, а руководитель эксплуатирующей организации, руководствуясь требованиями проекта реконструкции, технологической необходимости и учитывая выводы ЭО по результатам ЭПБ, ТД. Эксперт лишь может подтвердить/опровергнуть техническую возможность с учетом требований БЭ и дать рекомендации.